Équation cartésienne d'un plan

Propriété

L'espace est muni d'un repère orthonormé. Un plan \(P\) de vecteur normal   \(\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} a\\b\\c\\ \end{pmatrix}\) admet une équation cartésienne de la forme \(ax+by+cz+d=0\) avec \(d\in\mathbb R\) .

Réciproquement, si \(a\) , \(b\) et \(c\) sont non tous nuls, l'ensemble des points \(\text M(x~;~y~;~z)\) tels que \(ax+by+cz+d=0\) , avec \(d\in\mathbb R\) , est un plan de vecteur normal   \(\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} a\\b\\c\\ \end{pmatrix}\) .

Remarque

Un plan admet une infinité d'équations cartésiennes. Par exemple, si on considère le plan \(P\) d'équation cartésienne \(-12x+20y-28z-4=0\) , ce plan admet comme autre équation cartésienne :  \(3x-5y+7z+1=0\) .

Démonstration

Soit  \(\text A(x_\text A~;~y_\text A~;~z_\text A)\)  un point du plan \(P\) de vecteur norma l   \(\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} a\\b\\c\\ \end{pmatrix}\) . Tout point  \(\text M(x~;~y~;~z)\) du plan vérifie  \(\overrightarrow{\text A\text M}\cdot \overrightarrow{n}=0\) , ce qui équivaut à :  \(a(x-x_\text A)+b(y-y_\text A) + c(z-z_\text A)=0\) .
Soit  \(ax+by+cz-ax_\text A-by_\text A-cz_\text A=0\) .
En posant  \(d=-ax_\text A-by_\text A-cz_\text A\) , on obtient bien une équation de la forme  \(ax+by+cz+d=0\) .

Réciproquement,  on considère l'ensemble des points   \(\text M(x~;~y~;~z)\)  vérifiant \(ax+by+cz+d=0\) avec  \(a\) , \(b\) et \(c\)  non tous nuls. On peut supposer par exemple que \(a\) est non nul.
Soit \(\text A\left(-\dfrac da~;~0~;~0\right)\) . On a  \(- \dfrac da \times a+b\times 0+c\times 0+d=-d+d=0\) .
Les coordonnées du point  \(\text A\)  vérifient donc l'équation.
Soit  \(\text M(x~;~y~;~z)\) un point tel que  \(ax+by+cz+d=0\) .
On a : \(\overrightarrow{\text A\text M}\begin{pmatrix} x+\dfrac da\\ y \\ z \\ \end{pmatrix}\) .
Soit   \(\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} a\\b\\c\\ \end{pmatrix}\) .
On a : \(\overrightarrow{\text A\text M}\cdot \overrightarrow{n}=a\left(x+\dfrac da\right)+by+cz=ax+by+cz+d=0\) .
\(\text M\)  appartient donc au plan  \(P\) passant par \(\text A\) et de vecteur normal \(\overrightarrow{n}\) .

Exemple

Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne le plan \(P\) passant par le point \(\text A(-1;2;1)\) et de vecteur norm al  \(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 3\\-3\\1\\ \end{pmatrix}\) .

Soit \(\text M(x~;~y~;~z)\) un point de l'espace. Dire que   \(\text M \in P\)   signifie que  \(\overrightarrow{\text A\text M}\cdot \overrightarrow{n}=0\) .

On a :  \(\overrightarrow{\text A\text M}\begin{pmatrix} x+1\\ y-2 \\z-1 \\ \end{pmatrix}\) .
L'égalité précédente se traduit pas \(3(x+1)-3(y-2)+1(z-1)=0\) ,

soit \(3x-3y+z+8=0\) qui est une équation cartésienne du plan \(P\) .